الغرض من الخدمة... تم تصميم الخدمة لترجمة الأرقام من نظام رقمي إلى آخر عبر الإنترنت. للقيام بذلك ، حدد قاعدة النظام الذي تريد ترجمة الرقم منه. يمكنك إدخال الأعداد الصحيحة والأرقام بفاصلة.

يمكنك إدخال كل من الأعداد الصحيحة ، على سبيل المثال 34 ، والأرقام الكسرية ، على سبيل المثال ، 637.333. بالنسبة للأرقام الكسرية ، تتم الإشارة إلى دقة الترجمة بعد الفاصلة العشرية.

يتم استخدام ما يلي أيضًا مع هذه الآلة الحاسبة:

طرق لتمثيل الأرقام

الثنائية الأرقام (الثنائية) - كل رقم يعني قيمة البتة الواحدة (0 أو 1) ، وتكتب البتة الأكثر أهمية دائمًا على اليسار ، وبعد الرقم يكون الحرف "ب". للراحة ، يمكن فصل الرباعي بمسافات. على سبيل المثال ، 1010 0101b.
السداسي عشري أرقام (سداسية عشرية) - يتم تمثيل كل رباعي بحرف واحد 0 ... 9 ، A ، B ، ... ، F. يمكن الإشارة إلى هذا التمثيل بطرق مختلفة ، وهنا فقط الحرف "h" بعد آخر رقم سداسي عشري يستخدم. على سبيل المثال ، A5h. في نصوص البرنامج ، يمكن تعيين نفس الرقم كـ 0xA5 و 0A5h ، اعتمادًا على بناء جملة لغة البرمجة. يضاف صفر ثانوي (0) إلى يسار أهم رقم سداسي عشري يمثله حرف للتمييز بين الأرقام والأسماء الرمزية.
عدد عشري الأرقام (العشرية) - يتم تمثيل كل بايت (كلمة ، كلمة مزدوجة) برقم عادي ، وعادة ما يتم حذف التمثيل العشري (الحرف "د"). قيمة البايت من الأمثلة السابقة هي 165. على عكس التدوين الثنائي والسداسي العشري ، من الصعب تحديد قيمة كل بت عقليًا على العلامة العشرية ، وهو ما يتعين عليك القيام به في بعض الأحيان.
أوكتال أرقام (ثماني) - تتم كتابة كل ثلاثية من البتات (تبدأ القسمة بالعدد الأقل أهمية) كرقم من 0 إلى 7 ، وفي النهاية يتم وضع علامة "o". سيتم كتابة نفس الرقم كـ 245 درجة. النظام الثماني غير مريح لأنه لا يمكن تقسيم البايت بالتساوي.

خوارزمية لترجمة الأرقام من نظام رقمي إلى آخر

يتم تحويل الأعداد الصحيحة العشرية إلى أي نظام أرقام آخر بقسمة الرقم على الأساس نظام جديدالأرقام حتى يصبح باقي الرقم أقل من أساس نظام الأرقام الجديد. الرقم الجديد مكتوب على أنه باقي القسمة ، بدءًا من الرقم الأخير.
تتم ترجمة الكسر العشري الصحيح إلى PSS آخر بضرب الجزء الكسري فقط من الرقم في قاعدة نظام الأرقام الجديد حتى تظل جميع الأصفار في الجزء الكسري أو حتى يتم تحقيق دقة الترجمة المحددة. نتيجة لإجراء كل عملية ضرب ، يتم تكوين رقم واحد من رقم جديد ، بدءًا من الأقدم.
تتم ترجمة الكسر غير الصحيح وفقًا لقواعد 1 و 2. تتم كتابة الأجزاء الكاملة والكسرية معًا ، مفصولة بفاصلة.

مثال 1.



الترجمة من 2 إلى 8 إلى نظام رقم 16.
هذه الأنظمة هي مضاعفات النظامين ، لذلك تتم الترجمة باستخدام جدول المراسلات (انظر أدناه).

لتحويل رقم من نظام الأرقام الثنائية إلى رقم ثماني (سداسي عشري) ، من الضروري تقسيم الرقم الثنائي من الفاصلة إلى اليمين وإلى اليسار إلى مجموعات من ثلاثة (أربعة - للأرقام السداسية العشرية) ، مع استكمال المجموعات المتطرفة بـ الأصفار إذا لزم الأمر. يتم استبدال كل مجموعة بالرقم الثماني أو السداسي العشري المقابل.

المثال رقم 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
هنا 001 = 1 ؛ 010 = 2 ؛ 111 = 7 ؛ 010 = 2 ؛ 101 = 5 ؛ 001 = 1

عند التحويل إلى نظام سداسي عشري ، من الضروري تقسيم الرقم إلى أجزاء ، كل أربعة أرقام ، مع مراعاة نفس القواعد.
مثال رقم 3. 1010111010،1011 = 10.1011.1010،1011 = 2B12،13 الهيكس
هنا 0010 = 2 ؛ 1011 = ب ؛ 1010 = 12 ؛ 1011 = 13

يتم تحويل الأرقام من 2 و 8 و 16 إلى نظام الأرقام العشرية عن طريق قسمة الرقم إلى أرقام منفصلة وضربه في قاعدة النظام (التي يُترجم الرقم منها) مرفوعًا إلى القوة المقابلة لترتيبه رقم في الرقم المراد ترجمته. في هذه الحالة ، يتم ترقيم الأرقام إلى يسار الفاصلة العشرية (الرقم الأول يحتوي على الرقم 0) مع زيادة العدد ، وفي الجانب الأيمنتنازلي (أي مع إشارة سلبية). تم إضافة النتائج.

مثال رقم 4.
مثال على التحويل من نظام ثنائي إلى نظام رقم عشري.

1010010.101 2 = 1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125 = 82.625 10 مثال للتحويل من نظام الأعداد الثماني إلى النظام العشري. 108.5 8 = 1 * 8 2 + 0 8 1 + 8 8 0 + 5 8-1 = 64 + 0 + 8 + 0.625 = 72.625 10 مثال للتحويل من نظام سداسي عشري إلى نظام رقم عشري. 108.5 16 = 1 16 2 + 0 16 1 + 8 16 0 + 5 16-1 = 256 + 0 + 8 + 0.3125 = 264.3125 10

مرة أخرى ، نكرر الخوارزمية لتحويل الأرقام من نظام رقمي إلى PSS آخر

1. من نظام الأرقام العشري:
   • قسّم الرقم على أساس نظام الأرقام المراد ترجمته ؛
   • أوجد باقي قسمة الجزء الصحيح من الرقم ؛
   • اكتب كل ما تبقى من القسمة بترتيب عكسي ؛
2. نظام الأرقام الثنائية
   • للتحويل إلى نظام الأرقام العشري ، تحتاج إلى إيجاد مجموع حاصل ضرب الأساس 2 بالدرجة المقابلة للرقم ؛
   • لتحويل رقم إلى ثماني ، تحتاج إلى تقسيم الرقم إلى ثلاثيات.
     على سبيل المثال ، 1000 110 = 1000 110 = 106 8
   • لتحويل رقم من ثنائي إلى سداسي عشري ، تحتاج إلى تقسيم الرقم إلى مجموعات من 4 أرقام.
     على سبيل المثال ، 1000110 = 100 0110 = 46 16

يسمى النظام الموضعي، حيث تعتمد أهمية أو وزن الرقم على موقعه في الرقم. يتم التعبير عن العلاقة بين الأنظمة في الجدول.
جدول مراسلات نظام الأرقام:

ثنائي SS	سداسي عشري SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	أ
1011	ب
1100	ج
1101	د
1110	ه
1111	F

جدول التحويل الثماني

المثال رقم 2. حوّل 100.12 من رقم عشري إلى ثماني والعكس صحيح. اشرح أسباب التناقض.
حل.
المرحلة 1. ...

نكتب باقي القسمة بالترتيب العكسي. نحصل على الرقم في نظام الأرقام الثامن: 144
100 = 144 8

لترجمة الجزء الكسري من الرقم ، نضرب الجزء الكسري في الأساس 8. نتيجة لذلك ، في كل مرة نكتب الجزء الكامل من المنتج.
0.12 * 8 = 0.96 (جزء كامل 0 )
0.96 * 8 = 7.68 (الجزء الكامل 7 )
0.68 * 8 = 5.44 (الجزء الكامل 5 )
0.44 * 8 = 3.52 (الجزء الكامل 3 )
نحصل على الرقم في نظام الأرقام الثامن: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

المرحلة الثانية. تحويل عشري إلى ثماني.
عكس الترجمة من ثماني إلى عشري.

لترجمة الجزء الصحيح ، من الضروري مضاعفة رقم الرقم بالدرجة المقابلة للرقم.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

لترجمة الجزء الكسري ، من الضروري قسمة رقم الرقم على الدرجة المقابلة من الرقم
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
يفسر الفرق 0.0001 (100.12 - 100.1199) بخطأ التقريب عند التحويل إلى نظام الأرقام الثماني. يمكن تقليل هذا الخطأ بأخذ عدد أكبر من الأرقام (على سبيل المثال ، ليس 4 ، ولكن 8).

نظام الأرقام (نظام عددي أو نظام ترقيم) - طريقة رمزية لكتابة الأرقام ، تمثل الأرقام باستخدام العلامات المكتوبة

ما هو أساس وقاعدة نظام الأرقام؟

تعريف: أساس نظام الأرقام هو عدد الأحرف أو الأحرف المختلفة التي
تستخدم لتمثيل الأرقام في هذا النظام.
يتم أخذ أي رقم طبيعي كأساس - 2 ، 3 ، 4 ، 16 ، إلخ. هذا هو ، هناك لا حدود لها
العديد من أنظمة تحديد المواقع. على سبيل المثال ، بالنسبة للنظام العشري ، الأساس هو 10.

تحديد الأساس سهل للغاية ، ما عليك سوى إعادة حساب عدد الأرقام المهمة في النظام. إذا كان أبسط ، فهذا هو الرقم الذي يبدأ به الرقم الثاني من الرقم. على سبيل المثال ، نستخدم الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9. هناك 10 منهم بالضبط ، لذا فإن قاعدة نظامنا الرقمي هي أيضًا 10 ، ونظام الأرقام هو يسمى "عشري". في المثال أعلاه ، يتم استخدام الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 (المساعدة 10 ، 100 ، 1000 ، 10000 ، إلخ. لا تحسب). يوجد أيضًا 10 أرقام رئيسية هنا ، ونظام الأرقام عشري.

قاعدة النظام هي سلسلة من الأرقام المستخدمة في الكتابة. لا يوجد نظام له رقم مساوٍ لقاعدة النظام.

كما قد تتخيل ، كم عدد الأرقام الموجودة ، يمكن أن يكون نفس عدد قواعد أنظمة الأرقام. ولكن يتم استخدام القواعد الرقمية الأكثر ملاءمة فقط. لماذا تعتقد أن قاعدة نظام الأعداد البشرية الأكثر شيوعًا هي 10؟ نعم ، بالضبط لأن لدينا 10 أصابع في أيدينا. سيقول البعض "لكن هناك خمسة أصابع فقط في يد واحدة" ، وسيكونون على حق. يعرف تاريخ البشرية أمثلة على أنظمة الأعداد ذات الخمسة أضعاف. "وبالرجلين - عشرين إصبعًا" - سيقول الآخرون ، وسيكونون أيضًا على حق تمامًا. هذا ما اعتقده هنود المايا. بل يمكن رؤيته من خلال أعدادهم.

نظام الأرقام العشري

لقد اعتدنا جميعًا على العد باستخدام الأرقام والأرقام المألوفة لنا منذ الطفولة. واحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ، إلخ. في نظام الترقيم اليومي لدينا ، هناك عشرة أرقام فقط (0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9) ، والتي نشكل منها أي أرقام. بعد أن وصلنا إلى عشرة ، نضيف واحدًا إلى الرقم الموجود على اليسار ونبدأ العد مرة أخرى من الصفر في الخانة الموجودة في أقصى اليمين. يسمى هذا النظام الرقمي بالنظام العشري.

ليس من الصعب تخمين أن أسلافنا اختاروها لأن عدد الأصابع في كلتا اليدين هو عشرة. لكن ما هي أنظمة الأرقام الأخرى الموجودة؟ هل استخدمت دائمًا نظام الأرقام العشري ، أم كنت تستخدم نظامًا آخر؟

تاريخ ظهور أنظمة الأرقام

قبل اختراع الصفر ، كانت تستخدم علامات خاصة لكتابة الأرقام. كل أمة لها خاصتها. في روما القديمة ، على سبيل المثال ، ساد نظام الأرقام غير الموضعي.

يسمى نظام الأرقام غير الموضعي إذا كانت قيمة الرقم لا تعتمد على المساحة التي يشغلها. تعتبر أنظمة الأرقام التي تم استخدامها في روسيا واليونان القديمة أكثر أنظمة الأرقام مثالية.

في نفوسهم ، تم الإشارة إلى الأرقام الكبيرة بالحروف ، ولكن مع إضافة رموز إضافية (1 - أ ، 100 -i ، إلخ). كان نظام الأرقام غير الموضعي الآخر هو النظام المستخدم في بابل القديمة. في نظامهم ، استخدم سكان بابل الترميز في "طابقين" وثلاث علامات فقط: واحدة في نظام الترقيم البابلي - لواحد ، وعشرة في نظام الترقيم البابلي - لعشرة ، وصفر في نظام الترقيم البابلي - للصفر .

أنظمة الأرقام الموضعية

أصبحت الأنظمة الموضعية خطوة إلى الأمام. الآن فاز الرقم العشري في كل مكان ، ولكن هناك أنظمة أخرى تُستخدم غالبًا في العلوم التطبيقية. مثال على نظام الأرقام هذا هو نظام الأرقام الثنائية.
نظام الأرقام الثنائية

على ذلك تتواصل أجهزة الكمبيوتر وجميع الأجهزة الإلكترونية في منزلك. في نظام الأرقام هذا ، يتم استخدام رقمين فقط: 0 و 1. تسأل ، لماذا لا تعلم الكمبيوتر العد إلى عشرة كشخص؟ الجواب يكمن في السطح.

من السهل تعليم السيارة التمييز بين رمزين: على يعني 1 ، إيقاف يعني 0 ؛ يوجد تيار - 1 ، لا تيار - 0. كانت هناك محاولات لصنع آلات يمكنها تمييز المزيد من الأرقام. لكن تبين أنهم جميعًا غير موثوقين ، كانت أجهزة الكمبيوتر مرتبكة طوال الوقت: إما 1 جاء إليهم ، أو 2.

نحن محاطون بالعديد من أنظمة الأرقام المختلفة. كل واحد منهم مفيد في منطقته الخاصة. والإجابة على سؤال أيهما ومتى نستخدمه هي إجابتنا.

قبل أن نبدأ في حل المشكلات ، نحتاج إلى فهم بعض النقاط البسيطة.

ضع في اعتبارك الرقم العشري 875. الرقم الأخير من الرقم (5) هو باقي قسمة 875 على 10. يشكل آخر رقمين الرقم 75 ، وهو باقي قسمة 875 على 100. العبارات المماثلة صحيحة لأي رقم النظام:

الرقم الأخير من الرقم هو باقي قسمة هذا الرقم على أساس نظام الأرقام.

الرقمان الأخيران من الرقم هما باقي قسمة الرقم على تربيع قاعدة نظام الأرقام.

على سبيل المثال، . قسّم 23 على قاعدة النظام 3 ، نحصل على 7 و 2 في الباقي (2 هو الرقم الأخير من الرقم في النظام الثلاثي). قسّم 23 على 9 (تربيع القاعدة) ، نحصل على 18 و 5 في الباقي (5 =).

لنعد إلى النظام العشري المألوف. الرقم = 100000 ، أي 10 أس ك هو واحد و ك أصفار.

بيان مماثل ينطبق على أي نظام رقمي:

تتم كتابة قاعدة نظام الأرقام إلى أس k في نظام الأرقام هذا على هيئة أصفار واحدة و k.

على سبيل المثال، .

1. إيجاد قاعدة نظام الأرقام

مثال 1.

في نظام الأرقام مع بعض الأساس ، يتم كتابة الرقم العشري 27 على أنه 30. أشر إلى هذه القاعدة.

حل:

دعونا نشير إلى القاعدة المطلوبة x. ثم هذا هو. س = 9.

مثال 2.

في نظام الأرقام مع بعض الأساس ، يتم كتابة الرقم العشري 13 على أنه 111. أشر إلى هذه القاعدة.

حل:

دعونا نشير إلى القاعدة المطلوبة x. ثم

بحل المعادلة التربيعية ، نحصل على الجذور 3 و -4. نظرًا لأن الجذر لا يمكن أن يكون سالبًا ، فإن الإجابة هي 3.

الجواب: 3

مثال 3

حدد ، مفصولة بفواصل ، بترتيب تصاعدي جميع قواعد أنظمة الأرقام التي ينتهي بها الرقم 29 بـ 5.

حل:

إذا كان الرقم 29 في بعض الأنظمة ينتهي بـ 5 ، فإن الرقم الذي تم تخفيضه بمقدار 5 (29-5 = 24) ينتهي بـ 0. قلنا سابقًا أن الرقم ينتهي بالرقم 0 إذا كان قابلاً للقسمة على قاعدة النظام بدون باقي . أولئك. نحتاج إلى إيجاد كل هذه الأرقام التي تكون قواسم على الرقم 24. هذه الأرقام هي: 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24. لاحظ أنه في أنظمة الأرقام ذات الأساس 2 ، 3 ، 4 لا يوجد رقم 5 (وفي مسائل الصياغة ، ينتهي الرقم 29 بالرقم 5) ، مما يعني أن الأنظمة ذات القواعد تبقى: 6 ، 8 ، 12 ،

الجواب: 6 ، 8 ، 12 ، 24

مثال 4

حدد ، مفصولة بفواصل ، بترتيب تصاعدي جميع قواعد أنظمة الأرقام التي ينتهي بها الرقم 71 بـ 13.

حل:

إذا كان الرقم في بعض الأنظمة ينتهي بـ 13 ، فإن قاعدة هذا النظام هي 4 على الأقل (وإلا فلا يوجد رقم 3 هناك).

العدد الذي تم تخفيضه بمقدار 3 (71-3 = 68) ينتهي بـ 10. أي. 68 مقسومًا تمامًا على القاعدة المرغوبة للنظام ، وحاصل قسمة هذا ، عند تقسيمه على قاعدة النظام ، يعطي الباقي 0.

لنكتب جميع قواسم الأعداد الصحيحة 68: 2 ، 4 ، 17 ، 34 ، 68.

2 لا يصلح لأن القاعدة 4 على الأقل. تحقق من الفواصل المتبقية:

68: 4 = 17 ؛ 17: 4 = 4 (الراحة 1) - مناسب

68:17 = 4 ؛ 4:17 = 0 (الراحة 4) - غير مناسب

68:34 = 2 ؛ 2:17 = 0 (الراحة 2) - غير مناسب

68:68 = 1 ، 1:68 = 0 (الراحة 1) - مناسب

الجواب: 4 ، 68

2. البحث عن الأرقام حسب الشروط

مثال 5

حدد ، بترتيب تصاعدي ، مفصولة بفواصل ، جميع الأعداد العشرية التي لا تتجاوز 25 ، والتي ينتهي إدخالها في نظام التدوين على أساس أربعة بـ 11؟

حل:

أولًا ، دعنا نكتشف كيف يبدو الرقم 25 في الأساس 4.

أولئك. نحتاج إلى إيجاد جميع الأرقام ، على الأكثر ، التي ينتهي سجلها بالرقم 11. وفقًا لقاعدة العد المتسلسل في نظام ذي أساس 4 ،
نحصل على الأرقام و. نترجمها إلى نظام الأرقام العشري:

الجواب: 5 ، 21

3. حل المعادلات

مثال 6

حل المعادلة:

اكتب الإجابة في النظام الثلاثي (لا تحتاج إلى كتابة قاعدة نظام الأرقام في الإجابة).

حل:

دعنا نترجم جميع الأرقام إلى نظام الأرقام العشري:

المعادلة التربيعية لها جذور -8 و 6. (حيث لا يمكن أن تكون قاعدة النظام سالبة). ...

الجواب: 20

4. حساب عدد الآحاد (الأصفار) في الترميز الثنائي لقيمة التعبير

لحل هذا النوع من المسائل ، علينا أن نتذكر كيفية حدوث الجمع والطرح "في عمود":

عند الجمع ، يتم جمع الأرقام المكتوبة تحت بعضها البعض بشكل أحادي ، بدءًا من البتات الأقل أهمية. إذا كان المجموع الناتج المكون من رقمين أكبر من أو يساوي قاعدة نظام الأرقام ، فإن الباقي من قسمة هذا المجموع على قاعدة النظام تتم كتابته تحت الأرقام المجمعة ، والجزء الكامل من قسمة هذا المجموع على الأساس من النظام إلى مجموع الأرقام التالية.

عند الطرح ، تُطرح الأرقام المكتوبة تحت بعضها البعض بطريقة البت ، بدءًا من الأرقام الأقل دلالة. إذا كان الرقم الأول أقل من الثاني ، فإننا "نستعير" واحدًا من الرقم المجاور (الأكبر). الوحدة المشغولة في الرقم الحالي تساوي قاعدة نظام الأرقام. في النظام العشري هو 10 ، في النظام الثنائي 2 ، في النظام الثلاثي 3 ، إلخ.

مثال 7

كم عدد تلك الموجودة في الترميز الثنائي لقيمة التعبير:؟

حل:

نمثل جميع الأرقام في التعبير كقوى لاثنين:

في الترميز الثنائي ، يبدو الرقمان مرفوعًا للقوة النونية 1 و n أصفار. بعد ذلك ، تلخيصًا ، نحصل على رقم يحتوي على وحدتين:

لنطرح الآن 10000 من العدد الناتج ، ووفقًا لقواعد الطرح ، نقترض من الرقم التالي.

أضف الآن 1 إلى الرقم الناتج:

نرى أن النتيجة هي 2013 + 1 + 1 = 2015 وحدة.

التحويل العشري

التمرين 1.ما هو الرقم بالتدوين العشري الذي يقابل الرقم 24 16؟

حل.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

إجابة. 24 16 = 36 10

المهمة 2.من المعروف أن X = 12 4 + 4 5 + 101 2. ما هو X في التدوين العشري؟

حل.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
أوجد العدد: X = 6 + 4 + 5 = 15

إجابة.س = 15 10

المهمة 3.احسب قيمة المجموع 10 2 + 45 8 + 10 16 بالتدوين العشري.

حل.

دعنا نترجم كل مصطلح في نظام الأرقام العشري:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
المجموع يساوي: 2 + 37 + 16 = 55

ترجمة ثنائية

التمرين 1.ما هو 37 في الترميز الثنائي؟

حل.

يمكنك إجراء التحويل بالقسمة على 2 ودمج الباقي بترتيب عكسي.

هناك طريقة أخرى تتمثل في توسيع الرقم إلى مجموع قوى العدد اثنين ، بدءًا من الأعلى ، حيث تكون النتيجة المحسوبة أقل من الرقم المحدد. عند التحويل ، يجب استبدال القوى المفقودة لرقم ما بالأصفار:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

إجابة. 37 10 = 100101 2 .

المهمة 2.كم عدد الأصفار المهمة في التدوين الثنائي للعشري 73؟

حل.

لنفكِّك الرقم 73 في مجموع قوى اثنين ، بدءًا من أعلى واحد وضرب الأسس المحذوفة أيضًا في الأصفار ، والقوى الموجودة في واحد:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

إجابة.هناك أربعة أصفار ذات دلالة في التدوين الثنائي للعشري 73.

المهمة 3.احسب مجموع العددين x و y عندما x = D2 16 ، y = 37 8. اعرض النتيجة بترميز ثنائي.

حل.

تذكر أن كل رقم من الرقم السداسي العشري يتكون من أربعة أرقام ثنائية ، ويتكون كل رقم من الرقم الثماني من ثلاثة:

د 2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

دعونا نضيف الأرقام الناتجة:

11010010 11111 -------- 11110001

إجابة.مجموع العددين D2 16 و y = 37 8 ، الممثلان بالترميز الثنائي ، هو 11110001.

المهمة 4.منح: أ= D7 16 ، ب= 331 8. أي من الأرقام ج، مكتوبًا في نظام الأرقام الثنائية ، يفي بالشرط أ< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

حل.

دعنا نترجم الأرقام إلى نظام الأرقام الثنائية:

د ٧ ١٦ = ١١٠١٠١١١
331 8 = 11011001

الأرقام الأربعة الأولى من جميع الأعداد هي نفسها (1101). لذلك ، يتم تبسيط المقارنة لمقارنة أقل أربع بتات دلالة.

الرقم الأول في القائمة يساوي الرقم بلذلك لا يصلح.

الرقم الثاني أشبه ب... الرقم الثالث هو أ.

يناسب الرقم الرابع فقط: 0111< 1000 < 1001.

إجابة.الخيار الرابع (11011000) يفي بالشرط أ< c < b .

مهام تحديد القيم في أنظمة الأعداد المختلفة وأسسها

التمرين 1.لترميز الأحرف @ ، $ ، & ،٪ ، يتم استخدام أرقام ثنائية متتالية مكونة من رقمين. الحرف الأول يتوافق مع الرقم 00 ، وباستخدام هذه الأحرف ، تم ترميز التسلسل التالي: $٪ [البريد الإلكتروني محمي]$. فك تشفير هذا التسلسل وتحويل النتيجة إلى تدوين سداسي عشري.

حل.

1. دعونا نقارن الأرقام الثنائية بالرموز التي قاموا بترميزها:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. دعونا نترجم الرقم الثنائي إلى نظام رقم سداسي عشري:
0111 1010 0001 = 7A1

إجابة. 7 أ 1 16.

المهمة 2.يوجد في الحديقة 100 × شجرة فاكهة ، منها 33 شجرة تفاح ، و 22 كمثرى ، و 16 برقوق ، و 17 شجرة كرز. ما أساس نظام الأرقام (x).

حل.

1. لاحظ أن جميع المصطلحات تتكون من رقمين. يمكن تمثيلهم في أي نظام رقمي على النحو التالي:
أ * س 1 + ب * س 0 = فأس + ب ، حيث أ و ب هي أرقام الأرقام المقابلة من الرقم.
لرقم مكون من ثلاثة أرقام ، سيكون كالتالي:
أ * س 2 + ب * س 1 + ج * س 0 = فأس 2 + ب س + ج

2. حالة المشكلة كما يلي:
33 س + 22 س + 16 س + 17 س = 100 س
دعنا نستبدل الأرقام في الصيغ:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0 x + 0
7 س + 18 = س 2

3. لنحل المعادلة التربيعية:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2-4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121 ، الجذر التربيعي لـ D هو 11.
الجذور التربيعية:
س = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 أو س = (-7-11) / (2 * (-1)) = 9

4. لا يمكن أن يكون الرقم السالب أساس نظام الأرقام. إذن ، x لا يمكن إلا أن يساوي 9.

إجابة.الجذر المطلوب هو 9.

المهمة 3.في النظام الأساسي ، يُكتب الرقم العشري 12 بالصيغة 110. أوجد هذه القاعدة.

حل.

أولاً ، نكتب الرقم 110 من خلال صيغة كتابة الأعداد في أنظمة الأعداد الموضعية لإيجاد القيمة في نظام الأعداد العشرية ، ثم نوجد القاعدة بالقوة الغاشمة.

110 = 1 * س 2 + 1 * س 1 + 0 * س 0 = س 2 + س

يجب أن نحصل على 12. جرب 2: 2 2 + 2 = 6. جرب 3: 3 2 + 3 = 12.

إذن ، أساس نظام الأرقام هو 3.

إجابة.الجذر المطلوب هو 3.

المهمة 4.أي نظام عددي سيمثل الرقم العشري 173 كـ 445؟

حل.
دعنا نشير إلى القاعدة المجهولة بواسطة X. لنكتب المعادلة التالية:
173 10 = 4 * 2 + 4 * 1 + 5 * 0
مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن أي رقم موجب في درجة الصفر يساوي 1 ، نعيد كتابة المعادلة (لن نشير إلى الأساس 10).
173 = 4 * 2 + 4 * س + 5
بالطبع ، يمكن حل معادلة تربيعية مماثلة باستخدام المميز ، ولكن هناك حل أسهل. اطرح 4 من الجانبين الأيمن والأيسر نحصل على
169 = 4 * 2 + 4 * X + 1 أو 13 2 = (2 * X + 1) 2
من هنا نحصل على 2 * X +1 = 13 (نتجاهل الجذر السالب). أو X = 6.
الجواب: 173 10 = 445 6

مشاكل إيجاد قواعد متعددة لأنظمة الأعداد

هناك مجموعة من المشاكل التي يلزم فيها سرد (بترتيب تصاعدي أو تنازلي) جميع قواعد أنظمة الأرقام التي ينتهي فيها تمثيل رقم معين برقم معين. يمكن حل هذه المهمة بكل بساطة. تحتاج أولاً إلى طرح الرقم المحدد من الرقم الأصلي.سيكون الرقم الناتج هو الأساس الأول لنظام الأرقام. ويمكن أن تكون جميع القواعد الأخرى قواسم على هذا الرقم فقط. (تم إثبات هذه العبارة على أساس قاعدة نقل الأرقام من نظام رقمي إلى آخر - انظر البند 4). تذكر ذلك فقط لا يمكن أن تكون قاعدة نظام الترميز أقل من الرقم المحدد!

مثال
حدد ، مفصولة بفواصل ، بترتيب تصاعدي جميع قواعد أنظمة الأرقام التي ينتهي بها الرقم 24 بـ 3.

حل
24-3 = 21 هي القاعدة الأولى (13 21 = 13 * 21 1 + 3 * 21 0 = 24).
21 يقبل القسمة على 3 وعلى 7. الرقم 3 لا يعمل لأن القاعدة 3 لا تحتوي على 3.
الجواب: 7 ، 21