قسمة الأعداد الزوجية على 7. العلامات الرئيسية للقسمة. معايير القسمة لرقم مركب

مو نهناك عدد صحيح كو nk= مثم الرقم ممقسومة على ن

يؤدي استخدام مهارات القسمة إلى تبسيط العمليات الحسابية وزيادة سرعة تنفيذها بشكل متناسب. دعونا نحلل بالتفصيل السمة الرئيسية ميزات القسمة.

المعيار الأكثر وضوحًا للقسمة على الوحدات: جميع الأرقام قابلة للقسمة على واحد. إنه مجرد ابتدائي وبه علامات القابلية للقسمة اثنين, خمسة, عشرة. يمكن قسمة الرقم الزوجي على اثنين ، أو الرقم الذي يحتوي على رقم أخير من 0 ، على خمسة - وهو رقم يحتوي على رقم أخير من 5 أو 0. فقط تلك الأرقام التي تحتوي على رقم أخير من 0 سيتم قسمة على عشرة ، على 100 - فقط تلك الأعداد التي يكون رقمها الأخير عبارة عن أصفار ، في 1000 - فقط أولئك الذين لديهم ثلاثة أصفار نهائية.

فمثلا:

يمكن قسمة الرقم 79516 على 2 ، لأنه ينتهي بـ 6 ، وهو رقم زوجي ؛ 9651 غير قابل للقسمة على 2 ، لأن الرقم 1 هو رقم فردي ؛ 1790 يقبل القسمة على 2 لأن الرقم الأخير هو صفر. سيتم قسمة 3470 على 5 (الرقم الأخير هو 0) ؛ 1054 لا يقبل القسمة على 5 (النهائي 4). 7800 ستقسم على 10 و 100 ؛ 542000 يقبل القسمة على 10 ، 100 ، 1000.

أقل شهرة على نطاق واسع ، ولكن من السهل جدًا استخدام الخاصية ميزات القسمةعلى ال 3 و 9 , 4 , 6 و 8, 25 . هناك أيضًا سمات مميزة للقسمة على 7, 11, 13, 17, 19 وما إلى ذلك ، ولكن يتم استخدامها بشكل أقل في الممارسة العملية.

سمة مميزة للقسمة على 3 و 9.

على ال ثلاثةو / أو على تسعبدون الباقي ، سيتم تقسيم هذه الأرقام بحيث تكون نتيجة جمع الأرقام مضاعفًا لثلاثة و / أو تسعة.

فمثلا:

الرقم 156321 ، نتيجة الجمع 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 سيتم قسمة 3 وقسمة 9 ، على التوالي ، الرقم نفسه يمكن قسمة على 3 و 9. الرقم 79123 لن يكون مقسومًا على 3 أو 9 ، لذا فإن مجموع أرقامه (22) لا يقبل القسمة على هذه الأرقام.

سمة مميزة للقسمة على 4 و 8 و 16 وما إلى ذلك.

يمكن تقسيم الرقم بدون الباقي على أربعة، إذا كان آخر رقمين به أصفار أو رقم يمكن تقسيمه على 4. في جميع الحالات الأخرى ، لا يمكن القسمة بدون الباقي.

فمثلا:

الرقم 75300 قابل للقسمة على 4 ، لأن آخر رقمين هما أصفار ؛ 48834 غير قابل للقسمة على 4 لأن الرقمين الأخيرين يعطينا 34 ، وهو غير قابل للقسمة على 4 ؛ 35908 يقبل القسمة على 4 ، لأن الرقمين الأخيرين من 08 يعطي الرقم 8 قابل للقسمة على 4.

مبدأ مماثل ينطبق على معيار القسمة على ثمانية. الرقم قابل للقسمة على ثمانية إذا كانت آخر ثلاثة أرقام له هي أصفار أو شكل رقمًا يقبل القسمة على 8. وإلا فلن يكون حاصل القسمة عددًا صحيحًا.

نفس خصائص القسمة على 16, 32, 64 إلخ ، لكنها لا تُستخدم في الحسابات اليومية.

سمة مميزة للقسمة على 6.

الرقم قابل للقسمة على ستة، إذا كانت قابلة للقسمة على اثنين وثلاثة ، مع جميع الخيارات الأخرى ، فإن القسمة بدون الباقي مستحيلة.

فمثلا:

126 يقبل القسمة على 6 ، لأنه يقبل القسمة على 2 (الرقم الزوجي الأخير هو 6) و 3 (مجموع الأرقام 1 + 2 + 6 = 9 يقبل القسمة على ثلاثة)

سمة مميزة للقسمة على 7.

الرقم قابل للقسمة على سبعةإذا كان الفرق بين الرقم الأخير المزدوج و "العدد المتبقي بدون الرقم الأخير" يقبل القسمة على سبعة ، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على سبعة.

فمثلا:

الرقم هو 296492. لنأخذ الرقم الأخير "2" ، ضاعفه ، سيخرج 4. اطرح 29649 - 4 = 29645. من الصعب معرفة ما إذا كان يقبل القسمة على 7 ، وبالتالي حللها مرة أخرى. بعد ذلك ، نضاعف الرقم الأخير "5" ، فيخرج 10. نطرح 2964 - 10 = 2954. النتيجة هي نفسها ، ليس من الواضح ما إذا كانت قابلة للقسمة على 7 ، لذلك نواصل التحليل. نحلل مع الرقم الأخير "4" ، مزدوج ، يخرج 8. اطرح 295 - 8 = 287. نقارن مائتين وسبعة وثمانين - فهي غير قابلة للقسمة على 7 ، فيما يتعلق بهذا نواصل البحث. بالقياس ، فإن الرقم الأخير "7" ، مضاعف ، يخرج 14. اطرح 28 - 14 \ u003d 14. الرقم 14 قابل للقسمة على 7 ، وبالتالي فإن الرقم الأصلي قابل للقسمة على 7.

سمة مميزة للقسمة على 11.

على ال أحد عشريتم تقسيم هذه الأرقام فقط حيث تكون نتيجة إضافة الأرقام الموضوعة في أماكن فردية إما مساوية لمجموع الأرقام الموضوعة في الأماكن الزوجية ، أو تكون مختلفة برقم قابل للقسمة على أحد عشر.

فمثلا:

العدد 103.785 قابل للقسمة على 11 ، لأن مجموع الأرقام في الأماكن الفردية ، 1 + 3 + 8 = 12 ، يساوي مجموع الأرقام في الأماكن الزوجية ، 0 + 7 + 5 = 12. العدد 9163.627 هو قابلة للقسمة على 11 ، لأن مجموع الأرقام في الأماكن الفردية هو 9 + 6 + 6 + 7 = 28 ، ومجموع الأرقام في الأماكن الزوجية هو 1 + 3 + 2 = 6 ؛ الفرق بين العددين 28 و 6 هو 22 ، وهذا الرقم قابل للقسمة على 11. العدد 461،025 غير قابل للقسمة على 11 ، لأن الأرقام 4 + 1 + 2 = 7 و 6 + 0 + 5 = 11 لا تساوي بعضهم البعض ، وفرقهم 11-7 = 4 لا يقبل القسمة على 11.

سمة مميزة للقسمة على 25.

على ال خمسة وعشرونسوف يقسم الأرقام التي يكون رقمها الأخير عبارة عن أصفار أو يشكل عددًا يمكن تقسيمه على خمسة وعشرين (أي الأرقام المنتهية بـ 00 أو 25 أو 50 أو 75). في حالات أخرى ، لا يمكن تقسيم الرقم بالكامل على 25.

فمثلا:

9450 يقبل القسمة على 25 (ينتهي بـ 50) ؛ 5085 لا يقبل القسمة على 25.

قاعدة

علامة القسمة على 7

لتحديد ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على \ (\ displaystyle 7 \) ، فأنت بحاجة إلى:

1. خذ الرقم الأصلي بدون آخر رقم.

2. إلى الرقم الذي تم الحصول عليه في الخطوة الأولى ، أضف الرقم الأخير من الرقم الأصلي مضروبًا في \ (\ displaystyle 5 \).

الرقم قابل للقسمة على \ (\ displaystyle 7 \) فقط إذا كان المجموع الذي تم الحصول عليه في الخطوة الثانية قابل للقسمة على \ (\ displaystyle 7 \).

تفسير

علامة القسمة على 7 للأرقام المكونة من أربعة أرقام

بالنسبة لعدد من أربعة أرقام ، يمكن صياغة اختبار القابلية للقسمة على \ (\ displaystyle 7 \) على النحو التالي:

1. \ (\ displaystyle (\ color (blue) X) (\ color (red) Y) (\ color (green) Z) (\ color (blue) W) \ rightarrow (\ color (blue) X) (\ اللون (أحمر) Y) (\ color (green) Z) \).

2. (displaystyle (color (blue) X) (color (red) Y) (color (green) Z) +5 cdot (color (blue) W)).

الرقم \ (\ displaystyle (\ color (blue) X) (\ color (red) Y) (\ color (green) Z) (\ color (blue) W) \) قابل للقسمة على \ (\ displaystyle 7 \) عندها فقط عندما يكون الرقم \ (\ displaystyle (\ color (blue) X) (\ color (red) Y) (\ color (green) Z) +5 \ cdot (\ color (blue) W) \) قابلاً للقسمة على (displaystyle 7).

إعطاء رقم \ (\ displaystyle 2367 \). دعونا نجري حسابات وفقًا للقاعدة الموضحة أعلاه.

(displaystyle (color (blue) 2) (color (red) 3) (color (green) 6) (color (blue) 7) rightarrow (color (blue) 2) (color ( أحمر) 3) (\ لون (أخضر) 6) \).

2. نحسب:

\ (\ displaystyle (\ color (blue) 2) (\ color (red) 3) (\ color (green) 6) +5 \ cdot (\ color (blue) 7) = 271 \).

الرقم \ (\ displaystyle 2367 \) يقبل القسمة على \ (\ displaystyle 7 \) إذا وفقط إذا كان الرقم \ (\ displaystyle 271 \) يقبل القسمة على \ (\ displaystyle 7 \).

تحقق مما إذا كان \ (\ displaystyle 7 \) قابلاً للقسمة على رقم مكون من ثلاثة أرقام \ (\ displaystyle 271 \، (= (\ color (blue) X) (\ color (red) Y) (\ color (green) Z) ) \). ثم (\ displaystyle (\ color (blue) X = 2)، (\ color (red) Y = 7)، (\ color (green) Z = 1)).

1. نتجاهل الرقم الأخير من الرقم الأصلي:

(displaystyle (color (blue) 2) (color (red) 7) (color (green) 1) rightarrow (color (blue) 2) (color (red) 7)).

2. نحسب:

\ (\ displaystyle (\ color (blue) 2) (\ color (red) 7) +5 \ cdot (\ color (green) 1) = 32 \).

الرقم \ (\ displaystyle 271 \) يقبل القسمة على \ (\ displaystyle 7 \) إذا وفقط إذا كان الرقم \ (\ displaystyle 32 \) قابلاً للقسمة على \ (\ displaystyle 7 \).

بما أن \ (\ displaystyle 32 \) غير قابل للقسمة على \ (\ displaystyle 7 \) ، لذلك فهو \ (\ displaystyle 271 \) غير مشاركإلى (displaystyle 7).

بما أن \ (\ displaystyle 271 \) لا يقبل القسمة على \ (\ displaystyle 7 \) ، لذا فهو \ (\ displaystyle 2367 \) غير مشاركإلى (displaystyle 7).

الجواب: لا ، لا يقبل القسمة على \ (\ displaystyle 7 \).

تبدأ الرياضيات في الصف السادس بدراسة مفهوم القابلية للقسمة وعلامات القسمة. غالبًا ما يقتصر على علامات القابلية للقسمة بهذه الأرقام:

• على ال 2 : يجب أن يكون الرقم الأخير 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 ؛
• على ال 3 : يجب أن يكون مجموع أرقام الرقم قابلاً للقسمة على 3 ؛
• على ال 4 : يجب أن يكون الرقم المكون من آخر رقمين قابلاً للقسمة على 4 ؛
• على ال 5 : يجب أن يكون الرقم الأخير 0 أو 5 ؛
• على ال 6 : يجب أن يحتوي الرقم على علامات القابلية للقسمة على 2 و 3 ؛
• علامة على القسمة 7 غالبًا ما يتم تخطيه ؛
• نادرًا ما يتحدثون أيضًا عن اختبار القابلية للقسمة إلى 8 ، على الرغم من أنه مشابه لإشارات القسمة على 2 و 4. لكي يكون الرقم قابلاً للقسمة على 8 ، فمن الضروري والكافي أن تكون النهاية المكونة من ثلاثة أرقام قابلة للقسمة على 8.
• علامة على القسمة 9 يعلم الجميع: يجب أن يكون مجموع أرقام الرقم قابلاً للقسمة على 9. ومع ذلك ، لا يطور ذلك مناعة ضد جميع أنواع الحيل مع التواريخ التي يستخدمها علماء الأعداد.
• علامة على القسمة 10 ، ربما يكون أبسطها: يجب أن ينتهي الرقم بصفر.
• أحيانًا يتم إخبار طلاب الصف السادس أيضًا عن علامة القسمة إلى 11 . تحتاج إلى إضافة أرقام الرقم في الأماكن الزوجية ، وطرح الأرقام في الأماكن الفردية من النتيجة. إذا كانت النتيجة قابلة للقسمة على 11 ، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على 11.

دعنا الآن نعود إلى علامة القسمة على 7. إذا تحدثوا عنها ، يتم دمجها مع علامة القسمة على 13 وينصح باستخدامها بهذه الطريقة.

نأخذ رقما. نقسمها إلى كتل من 3 أرقام لكل منها (يمكن أن تحتوي الكتلة الموجودة في أقصى اليسار على رقم واحد أو رقمين) ثم نضيف / نطرح هذه الكتل بالتناوب.

إذا كانت النتيجة قابلة للقسمة على 7 أو 13 (أو 11) ، فإن الرقم نفسه قابل للقسمة على 7 أو 13 (أو ب 11).

تعتمد هذه الطريقة ، بالإضافة إلى عدد من الحيل الرياضية ، على حقيقة أن 7x11x13 \ u003d 1001. ومع ذلك ، ما يجب فعله بالأرقام المكونة من ثلاثة أرقام ، والتي لا يمكن حل مسألة القسمة أحيانًا بدون القسمة نفسها.

باستخدام اختبار القابلية للقسمة العام ، يمكن للمرء بناء خوارزميات بسيطة نسبيًا لتحديد ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 7 وأرقام أخرى "غير ملائمة".

اختبار محسّن للقسمة على 7
للتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 7 ، تحتاج إلى تجاهل آخر رقم من الرقم وطرح هذا الرقم مرتين من النتيجة الناتجة. إذا كانت النتيجة قابلة للقسمة على 7 ، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على 7.

مثال 1:
238 هل يقبل القسمة على 7؟
23-8-8 = 7. العدد 238 يقبل القسمة على 7.
في الواقع ، 238 = 34 × 7

يمكن تنفيذ هذا الإجراء عدة مرات.
المثال 2:
هل 65835 يقبل القسمة على 7؟
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 قابل للقسمة على 7 (إذا لم نلاحظ ذلك ، فيمكننا اتخاذ خطوة أخرى: 6-3-3 = 0 ، والصفر بالتأكيد قابل للقسمة على 7).

لذا فإن الرقم 65835 يقبل القسمة أيضًا على 7.

استنادًا إلى معيار القابلية العالمية للقسمة ، من الممكن تحسين معايير القابلية للقسمة بنسبة 4 و 8.

اختبار محسّن للقسمة على 4
إذا كان نصف عدد الوحدات بالإضافة إلى عدد العشرات عددًا زوجيًا ، فإن الرقم يقبل القسمة على 4.

مثال 3
هل الرقم 52 يقبل القسمة على 4؟
5 + 2/2 = 6 ، العدد زوجي ، لذا فإن الرقم قابل للقسمة على 4.

مثال 4
هل الرقم 134 يقبل القسمة على 4؟
3 + 4/2 = 5 ، عدد فردي ، إذن 134 لا يقبل القسمة على 4.

تحسين اختبار القابلية للقسمة بمقدار 8
إذا جمعت ضعف عدد المئات ، وعدد العشرات ونصف عدد الوحدات ، وكانت النتيجة قابلة للقسمة على 4 ، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على 8.

مثال 5
هل الرقم 512 يقبل القسمة على 8؟
5 * 2 + 1 + 2/2 = 12 ، الرقم قابل للقسمة على 4 ، لذا 512 يقبل القسمة على 8.

مثال 6
هل الرقم 1984 يقبل القسمة على 8؟
9 * 2 + 8 + 4/2 = 28 ، الرقم قابل للقسمة على 4 ، لذا فإن 1984 قابل للقسمة على 8.

علامة القسمة على 12هو اتحاد علامات القابلية للقسمة على 3 و 4. نفس الأعمال لأي ن يكون نتاج حقوق النشر p و q. لكي يكون الرقم قابلاً للقسمة على n (وهو ما يساوي حاصل ضرب pq ، مثل أن gcd (p ، q) = 1) ، يجب أن يكون المرء قابلاً للقسمة على كل من p و q في نفس الوقت.

ومع ذلك ، كن حذرا! لكي تعمل العلامات المركبة للقسمة ، يجب أن تكون عوامل الرقم جريمة جماعية على وجه التحديد. لا يمكنك القول أن الرقم يقبل القسمة على 8 إذا كان يقبل القسمة على 2 و 4.

تم تحسين اختبار القابلية للقسمة بمقدار 13
للتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 13 ، فأنت بحاجة إلى تجاهل آخر رقم من الرقم وإضافته أربع مرات إلى النتيجة الناتجة. إذا كانت النتيجة قابلة للقسمة على 13 ، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على 13.

مثال 7
هل 65835 يقبل القسمة على 8؟
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

الرقم 43 غير قابل للقسمة على 13 ، مما يعني أن الرقم 65835 لا يقبل القسمة على 13 أيضًا.

المثال 8
هل 715 يقبل القسمة على 13؟
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 يقبل القسمة على 13 ، لذا فإن 715 يقبل القسمة أيضًا على 13.

علامات القسمة على 14 ، 15 ، 18 ، 20 ، 21 ، 24 ، 26 ، 28والأرقام المركبة الأخرى التي ليست قوى الأعداد الأولية مماثلة لمعايير القابلية للقسمة على 12. نتحقق من القابلية للقسمة حسب عوامل الجريمة المشتركة لهذه الأرقام.

• لمدة 14: لشخصين و 7 ؛
• لـ 15: بنسبة 3 و 5 ؛
• ل 18: 2 و 9 ؛
• 21: في 3 و 7 ؛
• لـ 20: على 4 و 5 (أو بعبارة أخرى ، يجب أن يكون الرقم الأخير صفرًا ، ويجب أن يكون الرقم قبل الأخير زوجيًا) ؛
• 24: 3 و 8 ؛
• 26: 2 و 13 ؛
• بالنسبة إلى 28: 4 و 7.

تحسين اختبار القابلية للقسمة بمقدار 16.
بدلاً من التحقق لمعرفة ما إذا كانت النهاية المكونة من 4 أرقام قابلة للقسمة على 16 ، يمكنك إضافة رقم الآحاد بعشرة أضعاف رقم العشرات ، ومضاعفة رقم المئات أربع مرات ، و
ثمانية أضعاف رقم الألف ، وتحقق مما إذا كانت النتيجة قابلة للقسمة على 16.

المثال 9
هل 1984 يقبل القسمة على 16؟
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 غير قابلة للقسمة على 16 ، لذا فإن 1984 لا تقبل القسمة على 16 أيضًا.

المثال 10
هل الرقم 1526 يقبل القسمة على 16؟
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
الرقم 48 غير قابل للقسمة على 16 ، لذا فإن الرقم 1526 يقبل القسمة أيضًا على 16.

تم تحسين اختبار القابلية للقسمة بمقدار 17.
للتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 17 ، تحتاج إلى تجاهل الرقم الأخير من الرقم وطرح هذا الرقم خمس مرات من النتيجة الناتجة. إذا كانت النتيجة قابلة للقسمة على 13 ، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على 13.

المثال 11
هل الرقم 59772 يقبل القسمة على 17؟
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
الرقم 0 يقبل القسمة على 17 ، لذا فإن 59772 يقبل القسمة أيضًا على 17.

المثال 12
هل 4913 يقبل القسمة على 17؟
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 يقبل القسمة على 17 ، لذا فإن 4913 يقبل القسمة أيضًا على 17.

اختبار محسّن للقسمة بنسبة 19.
للتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 19 ، يلزمك إضافة ضعف الرقم الأخير إلى الرقم المتبقي بعد تجاهل آخر رقم.

المثال 13
هل الرقم 9044 يقبل القسمة على 19؟
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 يقبل القسمة على 19 ، لذا فإن 9044 يقبل القسمة على 19.

تم تحسين اختبار القابلية للقسمة بنسبة 23.
للتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 23 ، فأنت بحاجة إلى إضافة الرقم الأخير ، الذي تمت زيادته بمقدار 7 مرات ، إلى الرقم المتبقي بعد تجاهل آخر رقم.

المثال 14
هل الرقم 208012 يقبل القسمة على 23؟
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
في الواقع ، يمكنك أن ترى بالفعل أن 253 هي 23 ،